ميل المستقيم - الرياضيات 1-1 - أول ثانوي

رابط الدرس www.ien.edu.sa ميل المستقيم Slope of Line 2-4 فيما سبق: درست برهنة توازي مستقيمين باستعمال علاقات الزوايا. ( الدرس 3-2) والآن : أجد ميل المستقيم. لماذا؟ تستعمل لوحات مرورية لتنبه السائقين إلى حالة الطريق. 6 فاللوحة المجاورة تشير إلى انحدار الطريق بنسبة %6 وهذا يعني أن الطريق ترتفع أو تهبط بمقدار 6m رأسيًا لكل 100m أفقياً. 6% أستعمل الميل لتحديد ميل المستقيم درست سابقا حساب ميل المستقيم في المستوى الإحداثي باستعمال أي نقطتين عليه، المستقيمات المتوازية والمستقيمات المتعامدة. وعرفت أنه نسبة التغير الرأسي إلى التغير الأفقي. أضف إلى مطويتك 0 = التغير الرأسي الميل : التغير الأفقي يمكنك استعمال إحداثيات النقاط على المستقيم لتشتق صيغة للميل. y -(x₂, y₂)- ·l -(x₁, y₁)- التغير الأفقي: X2 - m = التغير الرأسي التغير الأفقي صيغة الميل عوض بسط التغير الرأسي 2 - 2 - x مفهوم أساسي ميل المستقيم في المستوى الإحداثي ، ميل المستقيم هو نسبة التغير في الإحداثي لا إلى التغير في الإحداثي X بين أي نقطتين عليه. ويعطى الميل m لمستقيم يحوي نقطتين إحداثياهما (1) و (22) بالصيغة = m، حيث xy x2 . V2 - 2 - 1 مثال 1 إيجاد ميل المستقيم عوض عن (11) بـ (12) - الدرس 4-2 ميل المستقيمة ال109م Ministry of Education 2024-1446 . (3, 3)(x2, y2) g m = 92 - 91 X2 - 1 3 - (-2) = 3 - (-1) 54 || أوجد ميل كل مستقيم فيما يأتي: ال У K X (a المفردات الميل slope معدل التغير rate of change

(x1, y₁) = (−2, 3), (x2, Y2) = (1,−3) У (b L 92 - 91 صيغة الميل عوض بسّط m = x2x1 -3-3 = 0 X 1 - (-2) = -2 M (x1, Y₁) = (−4, −3), (x2, Y2) = (3, −3) صيغة الميل عوض بسّط Y2 yı m = = = X2-X1 -3-(-3) 3 - (-4) 307 = 0 (x1, Y₁) = (2, 1), (x2, Y2) = (2, −4) صيغة الميل عوض N (c У O X 92 - 91 m = X2 - 1 -Q -4 = 2 2 == بسط ميل هذا المستقيم غير معرّف. R P A X (d تحقق من فهمك 1) المستقيم الذي يحتوي على (35) (62) 18 المستقيم الذي يحتوي على (62) ,(83) . - - - 6 (3),(4) 1C) المستقيم الذي يحتوي على 3 ,4 ,(42) (1) المستقيم الذي يحتوي على (3) . أضف إلى مطويتك يوضّح المثال 1 أربع حالات مختلفة للميل وهي : ملخص المفهوم حالات الميل الميل موجب الميل سالب الميل يساوي صفرا الميل غير معرف Ay خط رأسي | x خط أفقي x المستقيم للأسفل عند التحرك من اليسار إلى اليمين x x المستقيم للأعلى عند التحرك من اليسار إلى اليمين يمكن تفسير الميل على أنه معدّل التغير في الكمية لا بالنسبة إلى الكمية ، ويمكن استعمال ميل المستقيم أيضًا لتعيين إحداثيّي أي نقطة على المستقيم. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 إرشادات للدراسة القسمة على 0 ميل المستقيم في المثال 1d غير معرف؛ لأنه لا يوجد عدد تضربه في 0 يُعطي 5-. وبما أن هذا صحيح لأي عدد، فإن أي عدد مقسوم على 0 يمثل كمية غير معرفة. ومن ذلك يكون ميل أي مستقيم رأسي غير معرف. الفصل 2 التوازي والتعامد 110

مثال 2 من واقع الحياة استعمال الميل معدلا للتغير طائرات تحلّق طائرة في مسارٍ جوي مستقيم يمر بمدينة الرياض ثم بالمدينة المنورة. إذا كانت الطائرة على بعد km 500 من المدينة المنورة بعد . من مرورها فوق الرياض، ثم أصبحت على بعد km 152 0.5 من المدينة المنورة بعد نصف ساعة أخرى. كم كان بعدها عن المدينة المنورة بعد h 0.75 من مرورها فوق الرياض إذا كانت سرعتها ثابتةً. افهم: استعمل البيانات المعطاة لترسم المستقيم الذي يمثل البعد y بالكيلومترات كدالة في الزمن X بالساعات. عين النقطتين (12),(0.5,500) في المستوى الإحداثي، ثم ارسم مستقيما يمر بهما. المطلوب هو إيجاد البعد عن المدينة المنورة بعد 0.75 خطط أوجد ميل المستقيم في الشكل المجاور، واستعمله معدّل تغيّر المسافة بالكيلومتر بالنسبة للزمن بالساعة لإيجاد بعد الطائرة عن المدينة المنورة بعد 0.75 حل استعمل صيغة الميل لإيجاد ميل المستقيم. البعد عن المدينة المنورة (1.0, 152) 500 (0.5, 500) 400 300 200 100 0 1 x 0.5 الزمن (h) البعد (km) m 2 - 1 x2-x1 (152 - 500) km - 348 km = = (1.0 - 0.5) h 0.5 h - 696 km 1h تحلّق الطائرة بسرعة km/h 696 والإشارة السالبة تشير إلى تناقص المسافة مع مرور الزمن. استعمل ميل المستقيم وإحدى النقطتين عليه ؛ لتجد البعد y عندما يكون الزمن 0.75 = x صيغة الميل m = y2 yı X2 - 1 m=- -696, x₁ = 0.5, y₁ = 500, x2 = 0.75 -696: بسط اضرب كلا الطرفين في 0.25 اجمع 500 إلى كل طرف = -696 = Y2 - 500 0.75 -0.5 Y2 - 500 0.25 -174y2500 326 = y2 إذن كان بعد الطائرة عن المدينة المنورة بعد 0.75 يساوي km 326 تحقق يمكننا من الشكل تقدير البعد عن المدينة المنورة بعد 0.75 بأكثر من km 300 قليلًا. وبما أن 326 قريبة من هذا التقدير فإن الإجابة معقولة. ✓ تحقق من فهمك (2) مبيعات كانت مبيعات مصنع معلبات غذائية 20 مليون علبة عام 2016م، و200 مليون علبة عام 2021م، إذا حافظ المصنع على المعدل نفسه من الزيادة، فكم تكون مبيعاته من العلب عام 2024م ؟ الدرس 4-2 ميل المستقيمة ال111م Ministry of Education 2024-1446 GURAYAT TABUK TURAIF H JOUF ARAR WEDJH RAFHA QAISUMAH HAFR AL-BATIN T HAIL GASSIM YANBU MADINAH RIYADH AL DAWADMI JEDDAH TAIF BAHA JAZAN DAMMAM ALAHSA BISHA WADI AL-DAWASER ABHA NAJRAN SHARURAH الربط مع الحياة المسارات الجوية توجد خرائط جوية تضبط مسارات الطائرات وارتفاعاتها وتضمن عدم تصادمها.

المستقيمات المتوازية والمستقيمات المتعامدة : يمكنك استعمال ميلي مستقيمين لتحدد ما إذا كانا متوازيين أو متعامدين فالمستقيمات التي لها الميل نفسه تكون متوازية. أضف إلى مطويتك | 1 المستقيمات المتوازية والمستقيمات المتعامدة مسلمات ميلا المستقيمين المتوازيين يكون للمستقيمين غير الرأسيين | الميل يساوي 4 الميل نفسه إذا وفقط إذا كانا متوازيين وجميع المستقيمات الرأسية متوازية مثال: المستقيمان المتوازيان , لهما الميل نفسه ويساوي 4 ميلا المستقيمين المتعامدين يكون المستقيمان غير الرأسيين متعامدين إذا وفقط إذا كان حاصل ضرب ميليهما يساوي 1- والمستقيمات الأفقية والرأسية متعامدة مثال: المستقيم 111 عمودي على المستقيم p، أو m lp Am Aly 0 x الميل يساوي . الميل يساوي 4 1 4. H4 ناتج ضرب الميلين هو 1- = مثال 3 تحديد علاقات المستقيمات 2.4 2.5 حدد ما إذا كان ABCD متوازيين أو متعامدين أو غير ذلك إذا كانت (6) A(1, 1), B(-1, -5), C، ومثل كل مستقيم بيانيا لتتحقق من إجابتك. الخطوة 1 أوجد ميل كل مستقيم. میل AB : -5-1=-6=3 -2 B وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 6 13--113 = ميل CD : إرشادات للدراسة ميلا المستقيمين المتعامدين إذا كان ميل المستقيم يساوي ، فإن ميل المستقيم العمودي على هو معكوس مقلوب ميله b ؛ لأن الخطوة 2 حدّد العلاقة إن وجدت بين المستقيمين. بما أن ميلي المستقيمين غير متساويين فهما غير متوازيين. ولتحدد ما إذا كانا متعامدين أم لا، أوجد ناتج ضرب ميليهما. 3(-3)=-1 ناتج ضرب ميلي AB, CD بما أن حاصل ضرب ميلي ABCD يساوي 1- إذن هما متعامدان. تحقق من تمثيل المستقيمين بيانيا يبدو أنهما يشكلان زاوية قائمة عند نقطة تقاطعهما. ✓ D > 0 O A X تحقق من فهمك حدد ما إذا كان ABCD متوازيين أو متعامدين أو غير ذلك في كل مما يأتي، ومثل كل مستقيم بيانيا لتتحقق من إجابتك. A(14, 13), B(-11, 0), C(−3, 7), D(−4, −5) (3A A(3, 6), B(−9, 2), C(5, 4), D(2, 3) (3B a b (-) --- = الفصل 2 التوازي والتعامد 112

مثال 4 استعمال الميل لتمثيل المستقيم بيانيا - مثل بيانيًّا المستقيم الذي يمر بالنقطة (3) ويعامد (CD) ، حيث (20) ,(3-2). لإيجاد ميل CD عوّض عن ( 11 ) بـ ( 2 ) وعن (22) بـ (20) : у2-y1 0 - (-3) 3 = 2 - (-2) X2 - X 1 4 m = إذن ميل المستقيم العمودي على CD والمار بالنقطة A 3 4 يساوي ( 1 ) ، لأن 1 - = 1 - ) . 4 3 ، لتمثيل المستقيم بيانيًا ، ابدأ من النقطة ،A وتحرك 4 وحدات إلى أسفل، ثم 3 وحدات نحو اليمين وسم النقطة B ، ثم ارسم AB . تحقق من فهمك A D 0 x C B الارتفاع الرأسي 4- وحدات المسافة الأفقية 3 وحدات - ( مثل بيانيًّا المستقيم الذي يمر بالنقطة (1) ويعامد ، حيث (6 ,0) ,(2 ,6)Q. B У (3 У (2 T A x U+ 0 x المثال 1 أوجد ميل كل مستقيم فيما يأتي: J 0 x K (1 تأكد المثال 2 (4) علم النبات : الكودسو (Kudzu) هو نبات متسلق سریع النمو. قيس ارتفاع نبتة عند يوم البداية فكان 0.5m، وبعد سبعة أيام أصبح ارتفاعها 4m c) مثل بيانيا المستقيم الذي يمثل ارتفاع النبتة مع مرور الزمن. ما ميل هذا المستقيم؟ وماذا يمثل؟ افترض أن هذه النبتة استمرت في النمو وفق هذا المعدل، فكم يكون ارتفاعها بعد 15 يومًا؟ نمو نبات الكودسو 5. 3. له 1 بعد 7 أيام عند البداية الارتفاع (m) المثال 3 حدد ما إذا كان WXZ متوازيين أو متعامدين أو غير ذلك في كل مما يأتي، ومثل كل مستقيم بيانيا لتتحقق من إجابتك. W(1, 3), X(-2, −5), Y(−6, −2), Z(8,3) (6 W(1, −3), X(0, 2), Y(−2, 0), Z(8,2) (8 W(2, 4), X(4, 5), Y(4, 1), Z(8, -7) (5 W(−7, 6), X(−6, 9), Y(6, 3), Z(3, −6) (7 المثال 4 مثل بيانيا المستقيم الذي يحقق الشروط في كل مما يأتي: 9) يمر بالنقطة (34) ، ويوازي ، حيث (5)(2). 10 ميله يساوي 3 ، ويمر بالنقطة (1) (11 و بالنقطة (73) ، ويعامد ، حيث (15)M ,(3- ,2). يمر الدرس 4-2 ميل المستقيمة الP113 Ministry of Education 2024-1446

B R x S (14 M 0 У (13 N x تدرب وحل المسائل المثال 1 أوجد ميل كل مستقيم فيما يأتي: (12 D x أوجد ميل المستقيم الذي يمر بالنقطتين المحددتين في كل مما يأتي : E(5, −1), F(2, −4) (16 J(7,-3), K(-8, -3) (18 R(2, −6), S(−6,5) (20 C(3, 1), D(−2, 1) (15 G(-4, 3), H(-4,7) (17 P(-3, -5), Q(-3, −1) (19 المثال 2 21 حواسيب في عام 1435هـ كان ثمن حاسوب محمول 3000 ريال ، وأصبح 1800 ريال في عام 1439هـ . (a) ارسم مستقيما يمثل توقعًا لسعر الحاسوب للسنوات من 1435هـ إلى 1439هـ . ( كم ينخفض ثمن الحاسوب في كل سنة؟ إذا استمر انخفاض السعر بالمعدل نفسه، فكم يكون ثمن الحاسوب عام 1442هـ ؟ المثال 3 حدد ما إذا كان AB,CD متوازيين أو متعامدين أو غير ذلك في كل مما يأتي، ومثل كل مستقيم بيانيا لتتحقق من إجابتك. A(-6, -9), B(8, 19), C(0, -4) D(2, 0) (23 A(8,-2), B(4, -1), C(3, 11), D(-2, -9) (25 A(4, −2), B(−2, −8), C(4, 6), D(8,5) (27 A(1, 5), B(4, 4), C(9, 10), D(-5,-5) (22 A(4, 2), B(-3, 1), C(6, 0), D(-10, 8) (24 A(8, 4), B(4, 3), C(4, −9), D(2, -1) (26 مثل بيانيا المستقيم الذي يحقق الشروط في كلُّ مما يأتي: المثال 4 (28 يمر بالنقطة (25) ، ويوازي ، حيث (4) (1). - 6 (29) ميله يساوي -2 ، ويمر بالنقطة (24) يمر بالنقطة (14) ويوازي ) ، حيث (535) . و (30 (31) يمر بالنقطة (56) ويعامد ، حيث 5 ,1)G ,(9 ,2) . 32) سكان في عام 1427هـ كان عدد سكان إحدى المدن 416121 نسمة ، وفي عام 1439هـ بلغ عدد سكانها 521273 نسمة. (a ما المعدّل التقريبي لتغير عدد سكان هذه المدينة من عام 1427هـ إلى 1439هـ ؟ ) إذا استمر ازدياد عدد السكان بالمعدل نفسه، فكم نسمة تتوقع أن يبلغ عدد سكان هذه المدينة وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 عام 1447هـ؟ الفصل 2 التوازي والتعامد 114

حدد أي المستقيمين في السؤالين الآتيين له أكبر ميل: (6, 1), (0, 5) :1 mall (33 (−8, −5), (4, 10) :2 mal (34 (2, 2), (0, −4):1 (4, 5), (0, −4) :2 mall العدد الربط مع الحياة تبذل المملكة جهودًا حثيثة للحفاظ على البيئة بعناصرها المختلفة، حيث أسس المركز الوطني لتنمية الحياة الفطرية. (35) محمية طبيعية : تؤوي محمية طبيعية حيوانًا مهددًا بالانقراض هو المها العربي. ويوضح الشكل المجاور عدد المها العربي في المحمية عامي 1432 هـ و 1435هـ (a أوجد معدل التغير لعدد حيوانات المها العربي في المحمية. مثل بيانيا المستقيم الذي يمثل الزيادة في العدد. إذا استمر النمو وفق هذا المعدل، فكم يكون عدد حيوانات المها العربي عام 1447هـ ؟ أوجد قيمة x أو y اعتمادًا على المعطيات في كل مما يأتي، ثم مثل المستقيم بيانيا : 5 36) مستقيم يمر بالنقطتين (6) ,(41)، وميله يساوي - 400 1435 المها العربي السنة 500 400 300 200 100 72 1432 (37) مستقيم يمر بالنقطتين )) ، ويوازي المستقيم الذي يمر بالنقطتين (8) " (38) مستقيم يمر بالنقطتين (13) ، ويوازي المستقيم الذي يمر بالنقطتين (9) : 6 و و (39) مدارس في عام 1434هـ كان عدد طلاب مدرسة الفتح 1125 طالبًا . وفي عام 1440هـ ازداد عدد الطلاب حتى بلغ 1425 طالبًا. وعندما أُنشئت مدرسة الأندلس عام 1435هـ كان عدد طلابها 1275 طالبًا. إذا ازداد عدد طلاب مدرسة الأندلس بنفس معدّل زيادة عدد طلاب مدرسة الفتح، فكم يصبح عدد طلاب مدرسة الأندلس عام 1440هـ ؟ مسائل مهارات التفكير العليا 40 اكتشف الخطأ حسب كل من خالد وطارق ميل المستقيم الذي يمر بالنقطتين (2),(3) هل إجابة أي منهما صحيحة؟ وضح تبريرك. و خالد طارق 5-2 W = m= 3-(-2) 5-2 -2-3 = 35 = ---/33 (10)(2). (41) تبرير في المربع ABCD إذا كان (10) (24) a أوجد الرأسين الآخرين B للمربع. أثبت أن AD || BC, AB || DC. أثبت أن قياس كل زاوية من زوايا المربع يساوي 90 الدرس 4-2 ميل المستقيمة ال115م Ministry of Education 2024-1446

(42) اكتب يميل برج بيزا في إيطاليا عن الخط الرأسي بزاوية 5.5 . صف ميل كل من برج المملكة وبرج بيزا. (43) تحد تعلّمت في هذا الدرس أن 11 - 12 = m. اكتب برهانا جبريًا لتبين أنه يمكن أيضًا حساب الميل باستعمال المعادلة X2 - X1 .m= 1 - 2 X1 - X2 تدريب على اختبار (44) أي المعادلات الآتية تمثل مستقيما يعامد المستقيم الذي (45) أي القيم الآتية تمثل ميل المستقيم المار بالنقطتين 13 ، 3D a 6 1 34 8 7 6 5 9 10 11 12 d 16 15 1413 P Q A B U F C T وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 E D S R (2, 4), (0, -2) معادلته 8 + y = 3 x؟ 4 - 13 A y = 3 x + 1 C y = - - x - 6 A -3 B = - 34 X 5 D y=x+5 B مراجعة تراكمية في الشكل المجاور | | | | a ، و 57 = m24 . أوجد قياس كلّ من الزوايا الآتية : (الدرس (2-2) 21 (47 210 (49 Z5 (46 Z8 (48 حدد كلًا مما يأتي مستعملا الشكل المجاور . ( الدرس 1-2) (50 جميع القطع المستقيمة التي توازي TU . 51) جميع المستويات التي تتقاطع مع المستوى BCR. (52) جميع القطع المستقيمة التي تخالف DE. معتمدًا على المعطيات، حدد ما إذا كانت النتيجة صحيحة أم لا في كل مما يأتي. فتر تبريرك . (الدرس 4-1) المعطيات B,C متقابلتان بالرأس. النتيجة: B = C (54) المعطيات: W = Y النتيجة: W زاويتان متقابلتان بالرأس. استعد للدرس اللاحق حل كل معادلة مما يأتي بالنسبة لـ y : 4y - 3x = 5 (57) 4x + 2y = 6 (56) 3x + y = 5 (55) الفصل 2 التوازي والتعامد 116