الأعمدة والمسافة - الرياضيات 1-1 - أول ثانوي

رابط الدرس www.ien.edu.sa الأعمدة والمسافة Perpendiculars and Distance 2-6 فيما سبق: درستُ كتابة معادلة مستقيم عُرفت معلومات حول تمثيله البياني (الدرس 5-2) والآن : أجد البعد بين نقطة ومستقيم. أجد البعد بين لماذا؟ الخيط الشاقولي عبارة عن خيط مربوط في أحد طرفيه ثقل معدني يسمى الشاقول، وعندما يُعلق الخيط من طرفه الآخر يتأرجح الشاقول تأرجحًا حرَّا، ثم يسكن بحيث يكون تحت نقطة التعليق مباشرة. يُستعمل الخيط الشاقولي؛ لإنشاء خط رأسي عند البناء أو عند لصق ورق الجدران. البعد بين نقطة ومستقيم: يمثل طول الخيط الشاقولي أقصر مسافة بين نقطة التعليق ومستوى الأرض مستقيمين متوازيين. أسفله. فالمسافة العمودية بين نقطة ومستقيم هي أقصر مسافة في جميع الحالات، وهي تمثل البعد بين النقطة المفردات: المسافة العمودية perpendicular distance والمستقيم. مفهوم أساسي البعد بين نقطة ومستقيم النموذج: البعد بين نقطة ومستقيم distance from a point to a line التعبير اللفظي: البعد بين مستقيم ونقطة لا تقع عليه هو طول القطعة المستقيمة العمودية على أضف إلى مطويتك وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 المحل الهندسي locus متساوي البعد equidistant المستقيم من تلك النقطة. B C البعد بين C و AB إن إنشاء مستقيم عمودي على مستقيم معلوم من نقطة لا تقع عليه، يبين أنه يوجد مستقيم واحد فقط يمر بتلك النقطة ويكون عموديا على المستقيم. إنشاءات هندسية إنشاء مستقيم عمودي على مستقيم من نقطة لا تقع عليه الخطوة 1: ضع الفرجار عند النقطة .P . وارسم قوسًا يقطع ) في موقعين مختلفين. سم نقطتي التقاطع CD الخطوة 2: ضع الفرجار عند النقطة C الخطوة 3: استعمل مسطرة لرسم PQ 6 وارسم قوسًا تحت المستقيم باستعمال فتحة فرجار أكبر من CD - وباستعمال فتحة الفرجار نفسها، ارسم من D قوسًا آخر يقطع القوس السابق. وسم نقطة التقاطع Q . SP P D الفصل 2 التوازي والتعامد 126

00 تنص المسلمة الآتية على أن المستقيم العمودي على مستقيم معلوم من نقطة لا تقع عليه هو مستقيم وحيد. مسلمة 2.6 مسلمة التعامد التعبير اللفظي لأي مستقيم ونقطة لا تقع عليه يوجد مستقيم واحد فقط يمر بالنقطة ويكون عموديًا على المستقيم المعلوم. النموذج: P m أضف إلى مطويتك مثال 1 من واقع الحياة إنشاء أقصر قطعة مستقيمة بين نقطة ومستقيم : هندسة مدنية لاحظ مهندس مدني أن جزءًا من ساحة حديقة عامة تتجمع عنده المياه. ويريد أن يضع أنبوب تصريف أرضيًّا من النقطة A وسط هذه المنطقة إلى خط التصريف الرئيس الممثل بالمستقيم . أنشئ القطعة المستقيمة التي يُمثل طولها أقصر أنبوب يربط خط التصريف الرئيس بالنقطة A. m الربط مع الحياة تقسم الهندسة المدنية إلى تخصصات منها: هندسة الإنشاءات، وهندسة الطرق، وهندسة الخرسانة، وهندسة المساحة، وهندسة التربة وهندسة المياه. نخلة القطعة المستقيمة التي يمثل طولها أقصر أنبوب، هي القطعة المستقيمة العمودية من النقطة إلى المستقيم. لإنشاء القطعة المستقيمة اتبع الخطوات التالية: " الخطوة 1: استعمل الفرجار لتعيّن النقطتين على المستقيم m ، بحيث تكونا على البعد نفسه من النقطة A ، وذلك بوضع رأس الفرجار عند النقطة A ورسم قوس يقطع m في النقطتين B, C و A إرشادات للدراسة رسم أقصر مسافة الأداة الأساسية لرسم قطعة مستقيمة عمودية على مستقيم من نقطة لا تقع عليه هو المثلث القائم الزاوية كما يمكنك استعمال أدوات مثل ركن ورقة ولكن إنشاء هذه القطعة غير ممكن إلا باستعمال فرجار ومسطرة. نخلة m R الخطوة 2: 1 . س الفرجار لتعين نقطة أخرى مثل E لا تقع على المستقيم m ، وتكون على البعد نفسه من B, C ، وذلك بوضع رأس الفرجار عند النقطة C، ورسم قوس تحت المستقيم m باستعمال فتحة فرجار أكبر من BC ، ورسم قوس آخر يتقاطع مع القوس السابق عند E باستعمال فتحة الفرجار نفسها بوضع رأس الفرجار عند B جيرات 1 A. نخلة m. C E B حوض أزهار الدرس 2- الأعمدة والمسافةة الـ127م Ministry of Education 2024-1446

الخطوة 3: ارسم العمود AB ، وارمز لنقطة تقاطع AE مع BC بالرمز D نخلة m شجيرات شجرة C D B E زهار يمثل AD طول أقصر أنبوب يحتاجه المهندس لربط النقطة A بخط التصريف الرئيس. تحقق من فهمك (1 أنشئ القطعة المستقيمة التي يمثل طولها المسافة بين Q و PR وسمها. (1) Q R إرشادات للدراسة المسافة بين نقطة والمحورين x لاحظ أن المسافة بين نقطة والمحور x يمكن إيجادها بتحديد الإحداثي الصادي للنقطة، أما المسافة بينها وبين المحور ا فيمكن إيجادها بتحديد الإحداثي السيني لها. مثال 2 البعد بين نقطة ومستقيم في المستوى الإحداثي - , الهندسة الإحداثية: يمر المستقيم ) بالنقطتين ) . أوجد البعد بين المستقيم ) والنقطة (24). الخطوة 1 أوجد معادلة المستقيم .. ابدأ بإيجاد ميل المستقيم الذي يمر بالنقطتين (46) (53) . = -99 = -1 " = -6-3 12 - 11 x2x1 4 (-5) l m = استعمل ميل المستقيم ، والنقطة (46) الواقعة عليه لتجد مقطع المحور لا له. صيغة الميل والمقطع y =mx + b m=1, (x, y) = (4, -6) -6 =-1(4) + b -6 = -4 + b -2=b (−2) } بسط اجمع 4 لكلا الطرفين معادلة المستقيم هي: (2) + y = x، أو 2 - y = -x. الخطوة 2 اكتب معادلة المستقيم له العمودي على المستقيم والمار بالنقطة (2) ― بما أن ميل المستقيم ) يساوي -1 ، فإن ميل المستقيم 20 يساوي 1. y = mx + b صيغة الميل والمقطع 128 الفصل 2 التوازي والتعامد معادلة المستقيم 70 هي m = 1, (x, y) = (2, 4) 4 = 1(2) + b بسط اطرح 2 من كلا الطرفين 4 = 2+ b 2 = b . y = x + 2 الخطوة 3 حل نظام المعادلات لتجد نقطة التقاطع. المستقيم : 2 - - = y المستقيم له: (+) y = x + 2 2y = 0 y = 0 اجمع المعادلتين P اقسم كلا الطرفين على 2 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

l أوجد قيمة x. إرشادات للدراسة طريقة الحذف عند حل نظام معادلات باستعمال طريقة الحذف، قد تحتاج إلى ضرب إحدى المعادلات في عدد لتتمكن من الحذف عند جمع الحدود المتشابهة. 0 = x + 2 إذن نقطة التقاطع هي -2 = x Q(-2, 0) للتحقق من نقطة التقاطع، ارسم المستقيمين عوض 0 بدل y في معادلة المستقيم لله اطرح 2 من كلا الطرفين في المستوى الإحداثي، وأوجد نقطة التقاطع بيانيا. الخطوة 4: استعمل صيغة المسافة بين نقطتين؛ لتجد المسافة بین 2 ( 1 - 2 + 2 ( 1 - d = x2 صيغة المسافة بين نقطتين P(2,4) (-5, 3) x (4, -6) .P(2, 4), Q(-2, 0) √(x2-x1)²+(y2 x2 = - 2, x1 = 2, 2 = 0, y1 = 4 = V (-2 - 2) 2 + (0 - 42 بسط = V32 البعد بين النقطة والمستقيم هو 32 أو 5.66 وحدات تقريبًا . تحقق من فهمك l (2) المستقيم يمر بالنقطتين ) . أنشئ مستقيما عموديا على ) من النقطة (17)، ثم أوجد البعد بين P و 2 . و " البعد بين مستقيمين متوازيين: يُعرَّف المستقيمان المتوازيان على أنهما مستقيمان يقعان في المستوى نفسه ولا يتقاطعان. وهناك تعريف آخر ينص على أنهما مستقيمان يقعان في المستوى نفسه، بحيث يكون البعد بينهما ثابتًا، وهذا يعني أن البعد بين أي نقطة على أحدهما والآخر ثابتة . A B C D AB = CD = EF = GH E F G H يقودنا ذلك إلى تعريف البعد بين مستقيمين متوازيين. إرشادات للدراسة متساوي البعد ـوف تستعمل مفهوم سود متساوي البعد لتصف نقاطا خاصة ومستقيمات مرتبطة بأضلاع المثلث وزواياه في الدرس 1-4 مفهوم أساسي البعد بين مستقيمين متوازيين البعد بين مستقيمين متوازيين، هو المسافة العمودية بين أحد المستقيمين وأي نقطة على المستقيم الآخر. يسمى محلًّا هندسيا . ويمكن الشكل الذي تمثله مجموعة النقاط التي تحقق شرطا ما وصف المستقيم الموازي لمستقيم معلوم بالمحل الهندسي لجميع النقاط المتساوية البعد عن المستقيم في المستوى نفسه. نظرية 2.9 المستقيمان المتساويا البعد عن مستقيم ثالث إذا كان المستقيمان في المستوى متساويي البعد عن مستقيم ثالث فإنهما متوازيان. d d أضف إلى مطويتك d d أضف إلى مطويتك الدرس 2- الأعمدة والمسافةة ال129م Ministry of Education 2024-1446 ستبرهن نظرية 2.9 في السؤال 21

130 مثال 3 المسافة بين مستقيمين متوازيين أوجد البعد بين المستقيمين المتوازيين اللذين معادلتيهما 3 - y = 2x + 1, y = 2x على الترتيب. يتعين عليك حل نظام من المعادلات لإيجاد نقطتي نهايتي القطعة المستقيمة العمودية على كل من ... ميل المستقيم يساوي ميل المستقيم 1 ويساوي 2. ارسم المستقيم p على أن يمر بنقطة مقطع المحور y للمستقيم 7 وهي ( 0) ، ويكون عموديا على كلا المستقيمين. (0-3)، 2 x l m У (0, -3) P Ο الخطوة 1: لاحظ أن ميل المستقيم p هو معكوس مقلوب العدد 2، ويساوي - - ، وأن المستقيم pيمر بالنقطة (3) ، وهي مقطع المحور لا للمستقيم .. والآن : اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم p . إرشادات للدراسة طريقة التعويض عند حل نظام مكون من معادلتين خطيتين باستعمال التعويض، عوض قيمة أحد متغيرات المعادلة الأولى في المعادلة الثانية لتحصل على معادلة في متغير واحد. صيغة الميل والمقطع y = mx + b m = - 1, b = - 3 2 y = -1/x x - 3 الخطوة 2: حدد نقطة تقاطع المستقيمين و p بحل نظام المعادلات الآتي: المستقيم : 1 + y = 2x المستقيم : 3 - y = - - x 3 - 2 = -1/3 x - 3 2x + 1 = 2 3-1 485 85 11 عوّض 1 + 2x بدلا من y في معادلة المستقيم p - = 2x + 3 x جمع الحدود المتشابهة في كل طرف | 2 5 x = || || || x y بسط اضرب كلا الطرفين في - 8 5 عوض - بدلا من x في معادلة المستقيم p بسط الفصل 2 التوازي والتعامد 11 5 8 5 " نقطة التقاطع هي - ) أو (2.2 1.6) الخطوة 3: استعمل صيغة المسافة بين نقطتين؛ لتجد المسافة بين النقطتين (3 (0) و (2.2 ,1.6) d = √√√(x2 − x1)² + (y2 − y₁)² صيغة المسافة بين نقطتين x2 = -1.6, xy = 10, 12 = 2.2, 1 = -3 = - √√(−1.6 – 0)² + [−2.2 − (−3)]² - بسط ≈ 1.8 البعد بين المستقيمين 1.8 وحدة تقريبًا. تحقق من فهمك أوجد البعد بين المستقيمين المتوازيين اللذين معادلتاهما 6 + y = -3x - 5, y = -3x على الترتيب. 6 (3) أوجد البعد بين المستقيمين المتوازيين اللذين معادلتيهما , 14− = x + 3y = 6 , x + 3y على الترتيب. S 0 x وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

A الممر A الوصلة C نبوب رئيس المثال 1 أنشئ القطعة المستقيمة التي تمثل البعد في كل مما يأتي: 1) البعد بين Y و TS (2) البعد بين C و AB D B W. X Z T S Y (3) أنابيب: تزوّد مؤسسة المياه المنازل بالمياه من خلال أنابيب تربطها بالأنبوب الرئيس في الشارع. في الشكل المجاور: ارسم القطعة المستقيمة التي تمثل أقصر أنبوب توصيل بين الوصلة في المنزل A والأنبوب الرئيس في الشارع. المثال 2 هندسة إحداثية : أوجد البعد بين النقطة P والمستقيم & في كلّ مما يأتي: : D (4) يمر المستقيم بالنقطتين (4) ، وإحداثيا النقطة ( هما (310). و 6 (5) يمر المستقيم بالنقطتين (4) ، وإحداثيا النقطة ( هما (4) . (6) يمر المستقيم بالنقطتين (4) ، وإحداثيا النقطة هما (9) المثال 3 أوجد البعد بين كل مستقيمين متوازيين فيما يأتي : y = 7 (8 y = -3 y = -2x + 4 (7 y = -2x + 14 تأكد تدرب وحل المسائل المثال 1 أنشئ القطعة المستقيمة التي تمثل البعد في كل مما يأتي: (9) البعد بين A و BC (10) البعد بين K و EM K N M الممر الممرB 88° 50% راشد 69° الدرس - الأعمدة والمسافة ال131 م Ministry of Education 2024-1446 L B A C (11) مدرسة : يعبر راشد الساحة الأمامية لمدرسته، حيث يوجد ثلاثة ممرات ممكنة مبينة في الشكل المجاور. أي الممرات الثلاثة هو الأقصر ؟ وضّح تبريرك.

المثال 2 هندسة إحداثية: أوجد البعد بين النقطة P والمستقيم في كل مما يأتي : (12) يمر المستقيم بالنقطتين (7),(3-0). وإحداثيا النقطة هما (4) (13) يمر المستقيم بالنقطتين )) . وإحداثيا النقطة ( هما (57). 14 يمر المستقيم بالنقطتين )) . وإحداثيا النقطة ( هما (2) المثال 3 أوجد البعد بين كل مستقيمين متوازيين فيما يأتي: y = 3 x – 3 (17 y = + x + 2 y = - x + 3.5 (20 4 4y + 10.6 = -5x x = 3 (16 x = 7 y = -2 (15 y = 4 3x + y = 3 (19 y = 15 (18 y + 17 = -3x y = -4 (21) برهان اكتب برهانا ذا عمودين للنظرية 2.9 . أوجد البعد بين المستقيم و النقطة في كل مما يأتي: x = 4, (-2,5) (24 y = { x + 6, (65) (23 y=-3, (5, 2) (22 (25 ملصقات: يعلق شاكر مُلصقين على حائط غرفته كما هو مبين في الشكل. كيف يمكن له أن يستعمل البعد بین مستقيمين؛ ليتأكد أن حافتي الملصقين متوازيتان؟ - ', لنحافظ على كوكبنا نظيفا إنشاءات هندسية : يمر المستقيم بالنقطتين (4) والنقطة (2) تقع على المستقيم .. تتبع الخطوات أدناه وأجب عما يأتي: الخطوة 1: ارسم المستقيم وعين النقطة P الخطوة 2: افتح الفرجار فتحة أكبر من AP. الخطوة 3 باستعمال فتحة الفرجار نفسها، عليه، ثم ضع الفرجار عند النقطة P. وضعه عند النقطة A ، وارسم قوسًا ضع الفرجار عند النقطة B ، وارسم وباستعمال فتحة الفرجار نفسها، ارسم أعلى المستقيم ). قوسين عن يسار ويمين النقطة P. سم نقطتي التقاطع A و B. قوسًا يقطع القوس السابق، سم نقطة التقاطع Q. ثم ارسم .PQ Q A وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 B. l -A- P B y 18 (2,-3) l У (-4, 3) A P(-2, 1) B x (2,-3) l 26 ضع تخمينا للعلاقة بين المستقيمين و ؟ أثبت تخمينك باستعمال ميكي المستقيمين. ) PQ (27) كرر النشاط أعلاه باستعمال مستقيم آخر ونقطة عليه. الفصل 2 التوازي والتعامد 132

6 (28) هندسة إحداثية : ميل AB يساوي ،2 ، ونقطة منتصفها (3) ونقطة منتصف قطعة مستقيمة أخرى عمودية على AB (1 ,4) ، ولها نقطة الطرف B نفسها. هي - ( مثل القطعتين المستقيمتين بيانيا. m أوجد إحداثيات A و B . (29) مستقیمین متوازيين. تمثيلات متعددة في هذه المسألة، سوف تستكشف مساحات مثلثات متكونة من نقاط على (a) هندسيا ارسم مستقیمین متوازیین وسمهما كما في الشكل المجاور. B A 3 cm (b) لفظيًا أين تضع النقطة C على المستقيم ، 11 ، حتى يكون للمثلث ABC أكبر مساحة؟ وضح تبريرك. تحليليا إذا كان AB = 11cm ، فما القيمة العظمى لمساحة AABC؟ مسائل مهارات التفكير العليا 30 اكتشف الخطأ: رسم ماجد القطعتين المستقيمتين AB ,CD أدناه باستعمال حافة مستقيمة، ويدعي أنه إذا مد هاتين القطعتين المستقيمتين فإنهما لن تتقاطعا أبدًا. خالفه زيد الرأي وقال : إنهما تتقاطعان. أي منهما على صواب؟ برّر إجابتك. A C. B D 31 اكتب صف طريقة يمكن استعمالها لرسم مستقيم يبعد البعد نفسه عن المستقيمين المتوازيين ABCD A< C B D (32) تحد: افترض أن مستقيما عموديا على مستقيمين متوازيين ويقطعهما في النقطتين (6)(4). , إذا كانت المسافة بين المستقيمين المتوازيين V5 وحدات، فأوجد قيمة a ومعادلتي المستقيمين المتوازيين. 33 تبرير حدد ما إذا كانت العبارة الآتية صحيحة أحيانًا، أو صحيحة دائمًا، أو غير صحيحة أبدًا. وضح تبريرك. يمكن إيجاد البعد بين مستقيم ومستوى. (34) مسألة مفتوحة ارسم مضلعا محدبًا غير منتظم باستعمال مسطرة. a أنشئ قطعة مستقيمة تمثل البعد بين أحد الرؤوس وضلع غير مجاور له. استعمل القياس لتتحقق من أن القطعة المستقيمة التي رسمتها عمودية على الضلع الذي اخترته. الدرس - الأعمدة والمسافة الـ133 م Ministry of Education 2024-1446

تدريب على اختبار (35) تحد: أعد كتابة النظرية 2.9 بدلالة مستويين متساويي البعد عن مستو ثالث، وارسم مثالا على ذلك. (36) اكتب لخص الخطوات الضرورية لإيجاد البعد بين مستقيمين متوازيين إذا علمت معادلتاهما. 37) إذا كانت AB و BD متعامدتين و AB و CD تنصف إحداهما الأخرى عند النقطة AB = 16 ، X (38) متنزه المدينة مربع الشكل، ومساحته ft2 81000. أي مما يأتي هو الأقرب إلى طول ضلعه؟ 300 ft C 400 ft D a 6 У 6 4 (-3, 2) 2 (3,2) (5,-1) -8-6-4-2 02 4 6 8 x -2 -4(1, −4) 468 -6 -8 X 100 ft A 200 ft B B D 10 C 18 D " 20 = CD ، فما طول BD ؟ 6 A 8 B مراجعة تراكمية 39) استعمل الشكل المجاور؛ لتحدد ما إذا كان 6 || a. برّر إجابتك. (الدرس 4-2) اكتب بصيغة الميل ونقطة معادلة المستقيم المعطى ميله ونقطة يمر بها في كل مما يأتي : ( الدرس 5-2) m = 1 , (3, -1) (40 4 m = 0, (-2, 6) (41 m = -2, (-6, -7) (42 (43) حاسوب في عام 1436 هـ كانت نسبة مستخدمي شبكة الإنترنت في المملكة 56% تقريبًا، وبعد سنتين ارتفعت النسبة لتصبح %65% تقريبًا، إذا استمر معدل التغير هذا، فما السنة التي تكون فيها نسبة المشتركين 80 تقريبا (الدرس 4-2) وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 Q(-12, 2), T(-9,6) (46 استعد للدرس اللاحق استعمل صيغة المسافة بين نقطتين لإيجاد المسافة بين كل نقطتين فيما يأتي : R(-2, 3), S(3, 15) (45 O(−12, 0), P(−8,3) (44 الفصل 2 التوازي والتعامد 134

2 دليل الدراسة والمراجعة ملخص الفصل المفاهيم الأساسية القاطع: (الدرسان 22-1-12 • عندما يقطع قاطع مستقيمين، ينتج عن التقاطع أزواج من الزوايا المتبادلة خارجيًا أو المتبادلة داخليا، أو المتحالفة أو المتناظرة. . إذا قطع قاطع مستقيمين متوازيين فإن: • كل زاويتين متناظرتين متطابقتان. • كل زاويتين متبادلتين داخليا متطابقتان. . كل زاويتين متحالفتين متكاملتان • كل زاويتين متبادلتين خارجيا متطابقتان. المفردات الأساسية المستقيمان المتخالفان (ص.86) القاطع (ص. 87) المستويان المتوازيان (ص. 86) الزوايا الداخلية (ص. 87) المستقيمان المتوازيان (ص.86) الزاويتان المتبادلتان خارجيا (ص. 87) الزاويتان المتبادلتان داخليا (ص. 87) الزاويتان المتحالفتان (ص. 87) الزاويتان المتناظرتان ( ص.87) الزوايا الخارجية (ص 87) الميل (ص. 109) معدل التغير (ص. 110) صيغة الميل ونقطة (ص. 117) صيغة الميل والمقطع (ص. (117) متساوي البعد (ص. 129) المحل الهندسي (ص. 129) إثبات توازي مستقيمين: الدرس (3-2) . إذا قطع قاطع مستقيمين في نفس المستوى ونتج عن التقاطع أي مما يأتي فإن المستقيمين متوازيان: • زاويتان متناظرتان متطابقتان زاويتان متبادلتان خارجيًا متطابقتان. زاويتان متبادلتان داخليا متطابقتان. • زاويتان متحالفتان متكاملتان إذا كان المستقيمان عموديين على المستقيم نفسه في اختبر مفرداتك بين ما إذا كانت كل جملة مما يأتي صحيحة أو خاطئة، وإذا كانت خاطئة فاستبدل بالكلمة التي تحتها خط كلمة من القائمة أعلاه؛ لتجعل الجملة صحيحة: t 1 2 X .p 4 3 المستوى فإنهما متوازيان الميل: الدرسان -4- الميل m لمستقيم يمر بالنقطتين (1 ,x1) ، (2 ,2) Y2 - 1 X2 - X1 = m، حيث x x2 : يعطى بالصيغة البعد الدرس 6-2 . البعد بين مستقيم ونقطة لا تقع عليه، هو طول القطعة المستقيمة العمودية على المستقيم من تلك النقطة. ، البعد بين مستقيمين متوازيين، هو المسافة العمودية بين أحد المستقيمين وأي نقطة على المستقيم الآخر. المطويات منظم أفكار تأكد من أن المفاهيم الأساسية مدونة في مطويتك. | التوازي التعامد المستقيم والميل 1 5 6 q 8 7 (1) إذا كان 25 = 1 ، فإن p و q مستقیمان متخالفان. (2) الزاويتان 4 ، 6 متبادلتان داخليًا. (3) الزاويتان 1 ، 7 متبادلتان خارجيًا (4) إذا كان p و 9 متوازيين فإن الزاويتين 3 ، 6 متطابقتان. (5) بعد النقطة X عن المستقيم 1 هو طول القطعة المستقيمة العمودية من النقطة X إلى المستقيم . (6) يُسمّى المستقيم t قاطعًا للمستقيمين p و 1. (7) إذا كان p || q ، فإن 22 و 28 متكاملتان. (8) الزاويتان 4 ، 8 متناظرتان. الفصل 2 دليل الدراسة والمراجعة لة الـ135 م Ministry of Education 2024-1446

وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 دليل الدراسة والمراجعة 2 مراجعة الدروس 2-1 المستقيمان والقاطع (ص: 91-86) صنف كل زوج من الزوايا فيما يأتي إلى زاويتين متبادلتين داخليا، أو متبادلتين خارجيَّا، أو متناظرتين، أو متحالفتين، مستعملا الشكل أدناه. مثال 1 صنف كل زوج من الزوايا فيما يأتي إلى زاويتين متبادلتين داخليا، أو متبادلتين خارجيَّا، أو متناظرتين، أو متحالفتين، مستعملا الشكل أدناه. 2 4 3 5 6 8 7 Z2, 26 (b متناظرتان Z3, Z5 (d متبادلتان داخليا Z3, 26 (a متحالفتان 21, 27 (c متبادلتان خارجيًا 2/3 14 67 58 Z4,Z6 (10 Z1, Z5 (9 Z4,Z5 (12 Z2, 28 (11 (13) جسور المشاة: بني جسر لعبور المشاة فوق شارع، صنّف المستقيمين اللذين يمثلان الجسر والشارع. 2-2 الزوايا والمستقيمات المتوازية (ص: 101-94) مثال 2 الشكل أدناه: °123 = = m1، أوجد قياس كلّ من الزوايا الآتية، واذكر المسلمات أو النظريات التي استعملتها: جبر أوجد قيمة x في الشكل الآتي. وضّح تبريرك. P (2x + 23)° (7x-2)° l m مسلمة الزاويتين المتناظرتين جمع الحدود المتشابهة بسط اقسم كلا الطرفين على 5 16 15 14 13 910 11 12 87 65 12 3 7x - 2 = 2x + 23 Z16 (16 26 (19 Z14 (15 24 (18 Z5 (14 Z11 (17 7x - 2x = 23 + 2 5x = 25 65° x = 5 20 خرائط يبيّن الشكل المجاور تخطيط ثلاثة شوارع أوجد قيمة X. الشارع الأول الشارع الثاني الشارع الثالث الفصل 2 التوازي والتعامد 136

مثال 3 هل يمكن إثبات أن أيا من مستقيمات الشكل متوازية اعتمادًا على المعطيات في كل مما يأتي؟ وإذا كان أيها متوازيًا ، فاذكر المسلمة أو النظرية التي تبرّر إجابتك. 5/6 7 له 3 1 له > d a 6 N 2-3 إثبات توازي مستقيمين (ص: 107-102) هل يمكن إثبات أن أيا من مستقيمات الشكل متوازية، اعتمادًا على المعطيات في كل مما يأتي؟ وإذا كان أيها متوازيًا ، فاذكر المسلمة أو النظرية التي تبرر إجابتك. X 3 10 3. CO 5 24 12 79 89 21 = 27 (a (5x + 21° (12x + 6) for craf p 1 و 7 متبادلتان خارجيًا بالنسبة للمستقيمين 6 و d. بما أن 17 فإن d || 6 بحسب عكس نظرية الزاويتين المتبادلتين خارجيًا. 2425 (b D C 24 و 25 متبادلتان داخليًا بالنسبة للمستقيمين c و d. بما أن 5 4 ، فإن c || d بحسب عكس نظرية الزاويتين المتبادلتين داخليا. مثال 4 مثل بيانيًّا المستقيم الذي يمر بالنقطة (04)C، والعمودي على AB، حيث - ,0)B ,4 ,5). الارتفاع الرأسي: 5 وحدات АУ D. X 0 المسافة الافقية : وحدتان حديقة q A B 27 = 210 21 22 = 210 (22) 21 = 23 (23 23 = 211 (24 (25) أوجد قيمة x، بحيث يكون p || q، وحدّد المسلمة أو النظرية التي استعملتها. (26) هندسة المواقع: إذا كان 45° = mZBAD، فأوجد قیاس mLADC الذي يجعل AB || CD ميل المستقيم (ص. 116-109) 2-4 حدد ما إذا كان AB و XY متوازيين أو متعامدين أو غير ذلك في مما يأتي، ومثل كل مستقيم بيانيًا لتتحقق من إجابتك. كلِّه A(5, 3), B(8, 0), X(−7, 2), Y(1, 10) (27 A(−3, 9), B(0, 7), X(4, 13), Y(−5,7) (28 A(8, 1), B(−2, 7), X(−6, 2), Y(−1, −1) (29 ارسم المستقيم الذي يحقق الشروط في كلُّ مما يأتي: 6 (30) يمر بالنقطة (3) ويوازي AB ، حيث (259) 31) يمر بالنقطة (13) ويعامد ، ، حيث (1 ,6) ,(6 ,4). 6 (32) طائرات تحلّق الطائرتان A و B في مسارين مستقيمين وعلى الارتفاع نفسه. رصد قمر اصطناعي موقعين للطائرة A عند النقطتين (1) (237)، ورصد موقعين للطائرة B عند النقطتين (7) (3) . هل مسارا الطائرتين " متوازيان، أم متعامدان، أم غير ذلك؟ B C A 2 -2-(-4) -=-=-0-5 2 ميل AB يساوي بما أن ميل AB يساوي -، فإن ميل المستقيم العمودي 5 على AB يساوي - 2 لتمثيل المستقيم بيانيا ، ابدأ من النقطة C، وتحرك 5 وحدات إلى .CD أعلى ووحدتين إلى اليمين، وسمّ النقطة D ، ثم ارسم 3 الفصل 2 دليل الدراسة والمراجعةة الـ137م Ministry of Education 2024-1446

دليل الدراسة والمراجعة مثال 5 اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطتين . (2,5), (6,3) 2 2-5 صيغ معادلة المستقيم (ص 124-117) اكتب بصيغة الميل ونقطة معادلة المستقيم المعطى ميله ونقطة يمر بها في كل مما يأتي: m 4' = − 31, (8, -1) (34 m = 2, (4, -9) (33 اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم المعطى ميله ومقطع الخطوة 1 أوجد ميل المستقيم الذي يمر بالنقطتين. 3 صيغة الميل m = 92 - 91 X2 - 1 = 1 6 - 5 - 2 = - = محور y له فيما يأتي: m = 11, b = 4 (36 m = 5, b = -3 (35) اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم الذي أُعطيت نقطتان الخطوة 2 : اكتب معادلة المستقيم. يمر بهما فيما يأتي: (-3, 12), (15, 0) (37 (-7,2), (5,8) (38 صيغة الميل ونقطة =-1,(x₁, y₁) = (2,5) m = - 2 B وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 بسط اجمع 5 لكلا الطرفين y - y1 = m(x - x1 y - 5 = - 1 (x - 2) y - 5 = - 1/1/2x+1 y = - = x + 6 (39) فيزياء تسير مركبة بسرعة m/s 30، وبدأت تتباطأ بمعدل ثابت، وبعد ثانيتين أصبحت سرعتها 16m/s، اكتب معادلة سرعة المركبة v بعد t .ثانية ثم استعمل المعادلة لتحدّد تمثل الزمن الذي تستغرقه حتى تقف. الأعمدة والمسافة (ص: 134-126) 2-6 أنشئ القطعة المستقيمة التي تمثل البعد في كلِّ مما يأتي : 41) البعد بين L و JK (40) البعد بين X و W مثال 6 ارسم القطعة المستقيمة التي تمثل البعد بين A و CD . B C D A J L K N Y V W X (42) قياس : علّق خالد صفّين من الصور على حائط غرفته، فقام أولا بتثبيت مسامير لوحات الصف العلوي على استقامة واحدة، ثم علّق الخيط الشاقولي على كل مسمار وقاس مسافات متساوية أسفل كل مسمار ووضع مسمارًا للوحة في الصف الثاني. لماذا يدل هذا العمل على أن صفّي الصور سيكونان متوازيين؟ البعد بين المستقيم ونقطة لا تقع عليه، هو طول القطعة المستقيمة العمودية على المستقيم من تلك النقطة. مد CD ، وارسم القطعة المستقيمة العمودية على CD من A A C D الفصل 2 التوازي والتعامد 138

اختبار الفصل 2 صنف كل زوج من الزوايا فيما يأتي إلى زاويتين متبادلتين داخليا، أو 17) اختيار من متعدد أي القطع المستقيمة تخالف CD ؟ متبادلتين خارجيًا، أو متناظرتين، أو متحالفتين، مستعملا الشكل أدناه. A W B V E X Z C D Y DE (C VZ (D 1/2 3/4 56 78 Z6, 23 (1 24, 27 (2 Z5, 24 (3 ZY (A AB (B أوجد ميل المستقيم الذي يمر بالنقطتين A,B في كل مما يأتي: A(0, 6), B(4,0) (5 A(5, 4), B(8, 1) (7 A(8, 1), B(8, -6) (4 A(6, 3), B(-6,3) (6 في الشكل أدناه: "96 = m8 و °42 = m212. أوجد قياس كلّ من الزوايا الآتية، واذكر المسلمات أو النظريات التي استعملتها. 18) أوجد قيمة x التي تجعل 6|| a. وحدّد المسلمة أو النظرية التي استعملتها. 6 Z9 (8 211 (9 Z6 (10 11) أوجد قيمة x في الشكل الآتي (x-8) 120° 12 87 3/4 6/5 9 10 16 15 11/12 14/13 (12) ناد رياضي يقارن مشاري بين عرضين مقدمين من نادٍ رياضي. يدفع في العرض الأول 200 ريال شهريا. ويدفع في العرض الثاني 140 ريالًا شهريًا بالإضافة إلى رسوم اشتراك لأول مرة مقدارها 180 ريالًا. اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلتين تمثلان التكلفة y للاشتراك في كل من العرضين لعدد x من الأشهر. ثم مثلهما بيانيا. ( هل المستقيمان الممثلان بيانيًا في الفرع a متوازيان؟ وضح السبب. أيُّ العرضين هو الأفضل؟ وضح إجابتك. (4x + 11)° (8x + 1)° هندسة إحداثية : أوجد البعد بين النقطة P والمستقيم في كل مما يأتي: 19 يمر المستقيم بالنقطتين ( 3 ) . وإحداثيا النقطة P .(1, 2) Las (20 يمر - " " المستقيم بالنقطتين (23) (6) . وإحداثيا النقطة P هما (26). استعمل الشكل أدناه لتجد ميل كل مستقيم فيما يأتي: (21) المستقيم ) . X اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم في كلُّ من الحالات الآتية: (22) مستقيم يوازي 7 . (13 بالنقطة (8) ، ويعامد 17 – y = 2x يمر , 14) يمر بالنقطة (07) ، ويوازي 19 - y = 4x أوجد البعد بين كل مستقيمين متوازيين فيما يأتي: y = x - 11 (15 y = x - 7 y = -2x + 1 (16 y = -2x + 16 (23) مستقيم يعامد 1 . (2,6) lty (-4, 9) m (-10, 0) (10,-4) n (24) أعمال يعمل محمود مندوب مبيعات، ويتقاضى 12 ريالًا عن كل ساعة عمل زائد عمولة مقدارها 15% من قيمة مبيعاته. اكتب معادلة تمثل ما يتقاضاه في أحد الأسابيع إذا كانت قيمة مبيعاته 2000 ريال. الفصل 2 اختبار الفصلية ال139م Ministry of Education 2024-1446

2 الإعداد للاختبارات رسم مستقيمات مساعدة لحل بعض المسائل الهندسية من المحتمل أن تواجه في الاختبارات بعض الأسئلة التي تحتاج فيها إلى إضافة مستقيمات مساعدة لتطبيق بعض النظريات والمسلمات عليها والوصول لحلها. استراتيجيات الحل الخطوة 1 • اقرأ المسألة وتفحص الشكل بإمعان. . حاول ربط الشكل بأشكال مرتبطة بنظريات أو مسلمات. الخطوة 2 قرر الجزء الناقص من الشكل؛ ليكون مشابها لشكل له خصائص معينة. . أضف الجزء الناقص (رسم) مستقيم، إكمال زاوية ..... الخطوة 3 طبق النظريات والمسلمات على الشكل بعد التعديل. . استنتج المطلوب. 140 الفصل 2 التوازي والتعامد وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

مثال اقرأ المسألة جيدًا، وحدّد ما تحتاج إلى معرفته، ثم استعمل المعطيات لحلها. في الشكل أدناه: قُطعت ABC بالمستقيمين المتوازيين L و ML. ما قياس LABC؟ اكتب إجابتك بالدرجات. A l 38° B 33° m C ارسم مستقيما ثالثًا مساعدًا يوازي المستقيمين C و m مارا بالنقطة .B . وأوجد قياسات الزوايا باستعمال الزوايا المتبادلة داخليا : حل المسألة (4x-9)° الفصل 2 الإعداد للاختباراتاة ال141م Ministry of Education 2024-1446 (2) ما قيمة x في الشكل أدناه؟ 65° A l 38° B 38° 33° 33° m C mLABC = 38° + 33° = 71° تمارين ومسائل اقرأ كل سؤال فيما يأتي، ثم اكتب الإجابة الصحيحة في ورقة الإجابة: 30° ro 35° 1) ما قيمة X في الشكل أدناه؟

(2x+4) 60° 145° 130° 58 C 60 D 95 C 100 D اختبار تراكمي للفصلين 1 ' 2 أسئلة الاختيار من متعدد اقرأ كل سؤال فيما يأتي ، ثم اكتب رمز الإجابة الصائبة : (1 في الشكل أدناه: إذا كان 6 || a، 6 فأي مما يأتي صحته ليست مؤكدة؟ a 2 1 3 4 7 6 8 5 (5) ما قيمة x على الشكل أدناه؟ 120 A 116 B (6) ما قياس 1 في الشكل أدناه؟ 85 A 90 B (7) يرغب عبدالله في شراء ساعة يد سعرها 580 ريالًا . إذا كان لديه 140 ريالًا ، ويمكنه ادخار 40 ريالًا أسبوعيًا، فبعد كم أسبوع يتوافر لديه المبلغ الكافي لشراء الساعة؟ 12 C 13 D 10 A 11 B (8) إذا كان 110 = m1 ، فما قيمة m2 التي تجعل المستقيمين x وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 /: X Z 2 متوازیین؟ 110° D 70° C 60° B 30° A (9) ما ميل المستقيم المار بالنقطتين (62) ,(35) ؟ C 3 3 D 3A B 3 إرشادات للاختبار السؤال 6 : يمكن أن يساعدك الرسم على حل المسألة؛ لذا ارسم مستقيما ثالثًا موازيًا يمر برأس الزاوية 1، ثم استعمل خصائص المستقيمات المتوازية والقاطع لحل المسألة. 22 = 25 C 21 = 23 A 28 = 22 D 24 = 27 B (2) أي مما يأتي مثال مضاد للعبارة أدناه؟ مجموع أي عددين فرديين عدد فردي 6+ 2 = 8 4 + 9 = 13 D 64 3 + 3 = 6 A 5 + 4 = 9 B (3) ما ميل المستقيم الممثل بيانيًا أدناه ؟ У الله 2. -4 24610x -6 2516 C D 23 12 A B (4) يمر المستقيم ( بالنقطتين (4) و (55) جد البعد بين المستقيم ) والنقطة (40) A 3.3 وحدات C 4.0 وحدات B 3.6 وحدات D 4.2 وحدات الفصل 2 التوازي والتعامد 142

أسئلة ذات إجابات قصيرة اكتب إجابتك في ورقة الإجابة: (10) إذا عُلم مستقيم ونقطة لا تقع عليه، فكم مستقيما يمر بتلك النقطة ويوازي المستقيم المعلوم ؟ (11) أوجد ميل المستقيم الذي يمر بالنقطتين .(4,3), (−2, −5) (14) اكتب المعاكس الإيجابي للعبارة : إذا كان الشكل مربعا، فإنه متوازي أضلاع. أسئلة ذات إجابات مطولة اكتب إجابتك في ورقة الإجابة مبينا خطوات الحل. (15) استعمل الشكل أدناه لتحدد كلًا مما يأتي: O m Q M S R N 6 5 7 8 3 4 6 12 أكمل البرهان الآتي : المعطيات °180 = mZ1 +mZ8 المطلوب : a || b 6 البرهان : العبارات المبررات 1) معطى ؟ ؟ mZ1 +mZ8 = 180° (1 (2 mZ1 = 180° -m28 (2) (3 mZ5 +mZ8 = 180° (3 mZ5 = 180°-m28 (4 (5 (6 (4 خاصية الطرح للمساواة (5) خاصية التعدي للمساواة أو (خاصية التعويض) (6) عكس مسلمة الزاويتين المتناظرتين (13) اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطتين (5) (0) بصيغة الميل والمقطع الصادي. و a جميع القطع المستقيمة التي توازي MQ (b جميع المستويات المتقاطعة مع المستوى SRN قطعة مستقيمة تخالف ON (16) استعمل التمثيل البياني المجاور للإجابة عن كل من الأسئلة الآتية: a ما معادلة المستقيم ؟ ما ميل المستقيم الذي يوازي المستقيم m؟ ما ميل مستقيم عمودي على المستقيم m؟ هل تحتاج إلى مساعدة إضافية؟ 16 15 14 13 12 2 11 10 98765 4 3 2 1 2-5 2-3 2-5 1-3 2-1 2-4 2-3 2-4 2-3 2-6 2-2 2-2 2-5 2-4 1-1 2-2 الفصل 2 اختبار تراكمية الـ143م Ministry of Education 2024-1446 إذا لم تجب عن سؤال .. فعد إلى ..