ضرب العبارات النسبية وقسمتها - رياضيات2-2 - ثاني ثانوي

www.ien.edu.sa ضرب العبارات النسبية وقسمتها Multiplying and Dividing Rational Expressions 5-1 فيما سبق درست تحليل كثيرات الحدود. (مهارة سابقة) وانان الماذا؟ يستطيع الغواصون الوصول إلى أعماق تزيد على ft 33 باستعمال T(d)= 1700 أجهزة التنفس تحت الماء، وتعطي الدالة النسبية - . أتعرف العبارات النسبية. أكبر زمن يمكن للغواص قضاؤه في هذه الأعماق، بحيث يبقى قادرًا . أبسط عبارات نسبية. . أبسط كسورًا مركبة المفردات العبارة النسبية rational expression الكسر المركب complex fraction على الصعود إلى السطح بمعدل ثابت دون توقف، حيث (T(d زمن الغوص بالدقائق، وله العمق بالأقدام تبسيط العبارات النسبية تُسمى النسبة بين كثيرتي حدود 1700 d-33 "عبارة نسبية". بما أن المتغيرات في الجبر تمثل أعدادًا حقيقية في أغلب الأحيان، فإن العمليات على العبارات النسبية تشبه العمليات على الأعداد النسبية وكما في تبسيط الكسور فإنه عند تبسيط العبارات النسبية يتم قسمة كل من البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر (GCF) لهما. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 1 2 A 2 x²-4x+3(x-3)(x-1) x - 3 12 3.4 1 3 x2 - 6x +5 (x-5)(x-1) x - 5 1 GCF = 4 حلل كلا من البسط والمقام إلى عوامل اختصر العوامل المشتركة بسط GCF = x - 1 تبسيط عبارة نسبية مثال 1 بسط العبارة :- 5x(x2+4x+3).. (x-6)(x² - 9) 5x(x2 + 4x + 3) (x-6)(x²-9) 5x(x+3)(x+1) = (x-6)(x+3)(x-3) 1 = 5x(x+1) (x-6) (x-3) (x+3) (x+3) 1 5x(x + 1) (x-6)(x-3) تحقق من فهمك 2z(z+5)(z²+2z - 8) (z1)(z+5)(z - 2) 4y(y-3)(y+4) (1B (1A (2 - y - 6 قراءة الرياضيات GCF الرمز (GCF) يمثل اختصارا لـ: Greatest Common Factor القاسم (العامل) المشترك الفصل 5 العلاقات والدوال النسبية الأكبر 70

قراءة الرياضيات قيم x التي تجعل العبارة غير معرفة لإيجاد قيم x التي تكون العبارة عندها غير ،معرفة، استعمل العبارة المعطاة قبل تبسيطها. تكون العبارة النسبية غير معرفة عند قيم المتغير التي تجعل مقامها صفرًا. مثال 2 على اختبار ما قيم x التي تجعل العبارة . -2,-4 A x2x2 - 5x - 14 4x(x2+6x+8) -2,7 B غير معرفة ؟ 0,-4,7 D 0,-2,-4 C اقرأ فقرة الاختبار إرشادات للإختبار تريد إيجاد قيم x التي تجعل المقام صفرا. حل فقرة الاختبار بدائل السؤال يمكنك في بعض الأحيان اختصار الوقت بحذف بعض البدائل غير المنطقية ثم الاختيار من بين البدائل إحدى القيم التي تجعل المقام 8 + 4x ( x 2 + x يساوي صفرًا هي 0 = x؛ لذا يمكن حذف البديلين A و B . والآن حلل المقام إلى عوامل. hun plaas is! (x² + 6x+8= (x+2)(x+4) .4x(x+2)(x+4) وبما أن المقام يساوي صفرًا عندما 0 = x، أو 2 = x أو 4 = x فإن الإجابة الصحيحة هي : تحقق من فهمك .C غير معرفة؟ 5,-6 D 0,-2 C (2) ما قيم x التي تجعل العبارة . -6(x2 xx2 + x + 12) 3x-10) 5,-2 B 5,0 A في بعض الأحيان، يمكنك إخراج العدد -1 كعامل مشترك من البسط أو المقام للمساعدة في تبسيط العبارة النسبية. مثال 3 تبسيط عبارة نسبية بإخراج 1- كعامل مشترك بسط كل عبارة مما يأتي: حلل إلى عوامل 420 - 3y = -1(3) - 420) بسط حلل إلى عوامل x-y=-1(y-x) بسط 8a3-b3 (3B b-2a وزارة التعليم الدرس 1-5 ضرب العبارات النسبية وقسمتها 71 2024-1446 (4w2 3wy)(w+ y) (3y4w)(5w+y) = = y-x (4w2 3wy)(w + y) (3y 4w)(5w+ y) w(4w-3y)(w+ y) (3y - 4w)(5w + y) w(-1)(3y4w)(w + y). (3y - 420) (500 + y) 1 (-w)(w + y) 500 + y (a (xy)(x² + xy + y²) y-x (-1)(x)(x²+ xy + y²) (y-x) 1 = -x²-xy-y² (b تحقق من فهمك (xz-4z) (3A z²(4-x) المتبقية.

إرشادات للدراسة العوامل المشتركة تأكد من اختصار العوامل المشتركة في كل من البسط والمقام 72 تستعمل طريقة ضرب الكسور أو قسمتها في ضرب العبارات النسبية أو قسمتها؛ فعندما تضرب كسرين فإنك تضرب البسط في البسط والمقام في المقام. أما عند قسمة كسرين، فإنك تضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه، أو تضرب المقسوم في النظير الضربي للمقسوم عليه. والجدول الآتي يلخص قواعد ضرب العبارات النسبية وقسمتها: مفهوم أساسي أضف إلى مطويتك ضرب العبارات النسبية التعبير اللفظي: لضرب عبارتين نسبيتين اضرب البسط في البسط والمقام في المقام إذا كانت 4 عبارتين نسبيتين، حيث 0 , ، فإن 15 27.124=3.3.2.2 1 1 2.3.5 5 5 = 3.2 6 1 1 الرموز مثال: قسمة العبارات النسبية b d التعبير اللفظي : لقسمة عبارة نسبية على أخرى، اضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه. الرموز مثال : إذا كانت ع عبارتين نسبيتين، حيث 0 , , ، فإنَّ a d ad C bc 1 1 6 35 5 7 = = 35 6 2.3 5 1 1 مثال 4 ضرب عبارات نسبية وقسمتها بسط كل عبارة مما يأتي: 6c 15cd2 5d 2.3.c.5.3.c.d.d 5 d.2.2.2.a (a 8a 1 1 2.3.c.5.3.c.d.d 5.4.2.2.200 1 1 1 3.3.c.c.d 2.2.a 18xy³ 12x²y ÷ (b 7a2b2 35a²b الفصل 5 العلاقات والدوال النسبية 6c 15cd2 5d = 8a = 9c²d = 4a حلل إلى عوامل اختصر العوامل المشتركة بسط بسط 18.xy³ 12x²y 18xy³ 35a²b ÷ 7a2b2 35a²b 7a2b2 12x²y 18x35 = . -(x)·(e)·(6)·(6)·(A) == (6 × 3 × 7×5) . x 1-2 . y ³-1 . q²-2. 61-2 y2.aº.b-1 -5.1.2.1.1 15y² 2xb اضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه جمع العوامل استعمل قوانين الأسس واختصر العوامل المشتركة بسط تعريف الأسس السالبة بسط وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

تحقق من فهمك 6xy 21a3 (4B 12c³d² 14a²b 15ab2 18x4y 4A 21ab 8c2d 12x4y² 6x2y4 (4D 40a4b4 16a²x 16mt² 24m3 ÷ 21a4b3 7a2b2 (4C إرشادات للدراسة تحليل كثيرات الحدود عند تبسيط عبارات نسبية قد تظهر عوامل إحدى كثيرتي الحدود في كثيرة الحدود الأخرى، ويتم اختصارها كما في المثال 54. في بعض الأحيان عليك أن تحلّل البسط أو المقام أو كليهما قبل تبسيط ناتج ضرب عبارات نسبية أو قسمتها. عبارات نسبية تتضمن كثيرات حدود في كل من بسطها ومقامها مثال 5 بسط كلا من العبارتين الآتيتين: (a x-8 x²-6x-16 x2 - 16x + 64 x 2 + x + 6 (x-8)(x+2) x-8 (x 8)(x8) (x+3)(x+2) 1 (x-8)(x+2) 1 1 x-8 8) (x+3)(x+2) (x8)(x 1 x2 - 6x - 16 x2 - 16x + 64 x 2 + x + 6 x-8 حلل إلى عوامل اختصر العوامل المشتركة بسط اضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه حلل إلى عوامل اختصر العوامل المشتركة بسط 2-16 12y +36 x2 - 12x + 32 ÷ y - 3y - 18 x²-16 x2 - 12x + 32 12y +36 y²-3y-18 x²-16 ÷ 12 - 3y - 18 12y + 36x2 12x + 32 (x+4)(x-4) (y-6)(y+3) 12(y+3) (x-4)(x-8) 1 1 (x+4)(x-4) (y-6)(y+3) 12(y+3) (x 4)(x-8) 1 (x+4)(y-6) 12(x-8) 1 (b 1 تحقق من فهمك x2 - 9x + 20 x2 + 10x + 21 x2 - x - 12 6x + 42 8x-20 (5B x2 + 2x - 35 x2 - 7x + 10 4x²-16 (5A بسطه ومقامه أو أحدهما كسورًا، والعبارات الآتية كسور مركبة : تبسيط الكسور المركبة: الكسر المركب يـ J 5d x-2 X-2 x+4 4+6 12 3 ولتبسيط كسر مركّب، اكتبه أولا على صورة قسمة عبارتين. وزارة التعليم الدرس 1-5 ضرب العبارات النسبية وقسمتها 73 2024-1446

وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 اكتب العبارة على صورة قسمة عبارتين اضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه اختصر العوامل المشتركة وبسط اكتب العبارة على صورة قسمة عبارتين اضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه حلل إلى عوامل اختصر العوامل المشتركة بسط جمند 12 y²-49 (6B y-x y+7 مثال 6 تبسيط الكسور المركبة بسط كلا من العبارتين الآتيتين: a+b (a a² + b² 4 a+b 4 a+b a²+b2 = ÷ a² + b² 4 غير معرفة. c+d 302 - 3d2 (2 x+7 x²-3x-28 -4,7 D -7,4,7 C =a+b.4 a²+b2 a+b = 4 22 + 62 1 a+b a² + b² 1-2 4x - ÷ x2 - y² 1 x 2 4- 22 y 4x XX (x + y)(x − y) (-1)(xy) 4x x x (−1)(xy) = (x + y)(xy) 4x 1 1 4(x + y) تحقق من فهمك (x-2)² 2x2 - 5x + 4) x²-4 4x-10 (6) مثال 1 بسط كلا من العبارتين الآتيتين: x2 - 5x - 24 x2-64 (1 3) اختيار من متعدد: حدد قيم x التي تجعل العبارة - مثال 2 -7,4 A الأمثلة 6- بسط كل عبارة مما يأتي: 4,7 B ax - bx by-ay 27x2y+ 8z 16yz3 9xy3 (5 (7 y2 + 3y - 40 (4) 25-y² x3 + 27 3x+9 (6 تأكد الفصل 5 العلاقات والدوال النسبية 74

x²-4x-21 x-4 12x³y 36xy³ (9 x²-6x+8 x²-2x-35 ÷ (8 13ab2 26b 4x x+6 33 (11 (10 x² - 3x a²b x²+3x-18 y²(y²+3y+2) 2y(y-4)(y+2) (14 (x2 16x+64)(x+2) (x2 64)(x²-6x-16) (16 غير معرفة. -6,3,4,6 D a²-b2 4a + 4b ÷ (12 3a² 6a+3 a²-1 تدرب وحل المسائل مثال 1 بسط كل عبارة مما يأتي: x(x-3)(x+6) (13 x²+x-12 (x²-9)(x²-z2) (15 4(x+ z)(x-3) (x-3)(x+6) (x27x+12)(x² - 36) 17 اختيار من متعدد: حدد قيم x التي تجعل العبارة مثال 2 -6,3 A الأمثلة 6-3 بسط كل عبارة مما يأتي: 4,6 B -6,6 C x3-9x2 x²-3x-54 (19 x2 – 5x–14 28 +3x-x2 (18 3-3y (21 y³-1 16-c² c²+c-20 (20 14xy223 7wxyz (23 3ac3f3 12ab2c (22 21w4x²yz 12w²y³z 8a²bcf4* 18ab³c²f 9x²yz 12x4y² ÷ (25 64a2b5 12a4b3c 5z4 50xy4z2 ÷ (24 35b2c3f4 70abcf2 c2 6c 16 c2-8c y²+8y+15 y2-9y+18 c²-d² ÷ (27 c+d (26 y-6 y²-9 a²-b2 u-x a+b b3 (31 (30 62-a2 b2-ab a2 30 (29 622 6x-12 x²+10x + 21 12-x-2 (28 (2x+3)m~ F H ப G .... (3x-1) m (32) هندسة في الشكل المجاور ، إذا كانت مساحة متوازي الأضلاع F تساوي 8x2 + 10x - 3m2) ، وارتفاعه 2x + 3m) ، ومساحة متوازي الأضلاع G تساوي 6x2 + 13x - 5m2) ، وارتفاعه 3x - 1) m) ، فأوجد مساحة المثلث القائم الزاوية H. وزارة التعليم الدرس 1-5 ضرب العبارات النسبية وقسمتها 75 2024-1446

(33) هندسة : إذا كان حجم الأسطوانة في الشكل أدناه x + 3)(x - 3x - 18 cm3)، فأوجد ارتفاعها. (2x+6) cm (34) هندسة : يمكن استعمال كثيرة الحدود 6x3 + 11x 2 + x m3) للتعبير عن حجم الصندوق في الشكل أدناه الذي له شكل منشور متوازي مستطيلات، حيث x ارتفاع الصندوق. الحجم يساوي (6x3+11x2+4x)m³ الربط بالحياة يعد تلوث مياه البحار a أوجد بعدي الصندوق الآخرين. ) أوجد النسبة بين أبعاد الصندوق الثلاثة عندما 2 = x . ) هل النسبة بين أبعاد الصندوق الثلاثة ثابتة لكل قيم x ؟ (35) تلوث : تمثل الدالة - 0.4(x²-2x) x3 + x2 - 6x = (T(x سُمك بقعة نفط تسربت من إحدى ناقلات النفط، حيث T سُمك البقعة التي تبعد xm عن مكان التسرب وتقاس بالمتر. اكتب الدالة في أبسط صورة. ) ما سمك البقعة التي تبعد 100m عن مكان التسرب؟ بالنفط من أخطر الملوثات بسط كل عبارة مما يأتي: في عصرنا؛ وذلك لصعوبة مكافحته، وأثره الضار على البيئة وصحة الإنسان. 76 3x2 - 17x - 6 4x2 - 20x - 24 ÷ 6x2-7x-3 (37 2x2 - x - 3 3 22 - 16 3x3 + 18x2 + 24x 3xy³z 16a4b3c5 15x7yz³ 9-12 (39 x2 - 4x - 21 3 - 4x 22 - 7 - 4 2x2+7x+31-1 ( ) 2x2-15x+7. (36 (38 4x2 - 1 313 - 6x2 - 24x 2x2 + 7x - 30 -6x2 + 13x + 5 (42 (41 12x² + 12x-9 4x2 + 12x - 72 (2xy31-2 6a²b ÷ (40 3abc, x²y4 -2x²+5x+12 3x2 - 11x - 4 43) هندسة : مساحة قاعدة المنشور (متوازي المستطيلات) المجاور تساوي 20cm2 . أوجد طول الضلع BC بدلالة . إذا كان DC = 3BC ، فأوجد مساحة المنطقة المظللة D الفصل 5 العلاقات والدوال النسبية بدلالة x. أوجد حجم المنشور بدلالة x. C وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

بسط كل عبارة مما يأتي: x2 + 4x - 32 3x²-75 6x²-18x60 ÷ (44 2x2 + 9x - 5 3x2 - 11 - 4 3 - 4x 8x2 + 10x - 3 3x²-12x-36 2x2 - 5x - 12 4x2 + 3x - 1 ÷ (45 3x2 - 17x - 6 4x2 - 40x + 24 4x²-9x-9 3x2 + 6x - 18 ÷ -2x²+5x+3.8x²+10x+3 ÷ (46 6x2 - 6x - 12 x²-4x-32 (47) تمثيلات متعددة ستكتشف في هذا السؤال العلاقة بين العبارة النسبية قبل تبسيطها وبعده. جبريًا بسط العبارة. (6) جدوليا : إذا كانت . x2 - 5x + 4 x-4 x2 - 5x + 4 x-4 . = (f(x ، فاستعمل العبارة التي حصلت عليها في الفرع (a) لكتابة الدالة (x) المرتبطة بالدالة (f(x ، ثم استعمل الحاسبة البيانية لعمل جدول لقيم x لكلتا الدالّتين، حيث 10 > x ≥ 0 . تحليليا : أوجد قيمة كل من (4) ، و (4)، ثم وضح الفرق بين القيمتين. لفظيا : ماذا تستنتج بالنسبة للعبارة الأصلية في الفرع (a) والدالة (x)؟ مسائل مهارات التفكير العليا (48) تبرير قارن بين كل من . .(x-6)(x+2), (x-6)(x+2)(x+3) x+3 x+y 49) اكتشف الخطأ قام كل . ، من علي ومحمد بتبسيط العبارة : . أيهما إجابته صحيحة؟ فسر y إجابتك. 4 علي = -4 x+y x+y x+y x-y y-x x+y y-x x-y x+y x + y (50) تحد ما قيمة و التي تجعل الجملة 2 - x = : y x-6 صحيحة دائمًا، عدا عند 6 = x و 3 = x؟ 51 تبرير هل الجملة الآتية صحيحة دائمًا، أم صحيحة أحيانًا ، أم غير صحيحة أبدًا؟ فسر إجابتك. " العبارة النسبية التي تتضمن متغيرًا في المقام تكون معرَّفة لجميع الأعداد الحقيقية. (52) مسألة مفتوحة اكتب عبارة نسبية ناتج تبسيطها . *x+4 x2 + 3x 4r x+3 (53) اكتب : إذا علمت أن ناتج تبسيط العبارة النسبية - هو 13. فوضّح لماذا لا تكون هذه العبارة معرفة لجميع قيم x ؟ وزارة التعليم الدرس 1-5 ضرب العبارات النسبية وقسمتها 77 2024-1446

وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 تدريب على اختبار 5-c (55) ما أبسط صورة للعبارة النسبية (54) احتمال : إذا رمي مكعب مرقم من 6-1 مرة واحدة، فما احتمال ظهور عدد أقل من 4 ؟ 5-c C c+4 5- A 1 D B c+4 c+4 1223 D 1 A B مراجعة تراكمية حُلّ كلًا من المعادلتين الآتيتين: 56) 7 = 5 + 8-V (مهارة سابقة) (57) 3- = 6 - 8 + (مهارة سابقة) (مهارة سابقة) h²+1 h2-1 (58) بسط العبارة. بسط كلًا مما يأتي: (مهارة سابقة) (2a+3b)+(8a-5b) (59 (x2 - 4x + 3) - (4x2 + 3x - 5 (60 (5y+3y2)+(-8y-6y²) (61 2x(3y+9) (62 (x+6)(x+3) (63 (x+1)(x22x+3) (64 الفصل 5 العلاقات والدوال النسبية 78